Вычисление объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. Вычисление площади фигуры, ограниченной параметрически заданной кривой Вращение вокруг оси oy объем

Найдём объём тела, порождённого вращением арки циклоиды вокруг её основания. Роберваль находил его, разбив полученное яйцеобразное тело (рис. 5.1) на бесконечно тонкие слои, вписав в эти слои цилиндрики и сложив их объёмы. Доказательство получилось длинное, утомительное и не вполне строгое. Поэтому для его вычисления обратимся к высшей математике. Зададим уравнение циклоиды параметрически.

В интегральном исчислении при изучении объемов пользуется следующим замечанием:

Если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию задана параметрическими уравнениями и функции в этих уравнениях удовлетворяют условиям теоремы о замене переменной в определенном интеграле, то объем тела вращения трапеции вокруг оси Ох, будет вычисляться по формуле:

Воспользуемся этой формулой для нахождения нужного нам объема.

Таким же образом вычислим и поверхность этого тела.

L={(x,y): x=a(t - sin t), y=a(1 - cost), 0 ? t ? 2р}

В интегральном исчислении существует следующая формула для нахождения площади поверхности тела вращения вокруг оси х кривой, заданной на отрезке параметрически (t 0 ?t ?t 1):

Применяя эту формулу для нашего уравнения циклоиды получаем:

Рассмотрим также другую поверхность, порождённую вращением арки циклоиды. Для этого построим зеркальное отражение арки циклоиды относительно её основания, и овальную фигуру, образованную циклоидой и её отражением будем вращать вокруг оси KT (рис. 5.2)

Сначала найдём объём тела, образованного вращением арки циклоиды вокруг оси KT. Его объём будем вычислять по формуле(*):

Таким образом, мы посчитали объём половины данного репообразного тела. Тогда весь объём будет равен

Рассмотрим примеры применения полученной формулы, позволяющей вычислять площади фигур, ограниченных параметрически заданными линиями.

Пример.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, параметрические уравнения которой имеют вид .

Решение.

В нашем примере параметрически заданная линия представляет собой эллипс с полуосями 2 и 3 единицы. Построим его.

Найдем площадь четверти эллипса, расположенной в первом квадранте. Эта область лежит в интервале . Площадь всей фигуры вычислим, умножив полученное значение на четыре.

Что мы имеем:

Для k = 0 получаем интервал . На этом интервале функция монотонно убывающая (смотрите раздел ). Применяем формулу для вычисления площади и определенный интеграл находим по формуле Ньютона-Лейбница :

Таким образом, площадь исходной фигуры равна .

Замечание.

Возникает логичный вопрос: почему мы брали четверть эллипса, а не половину? Можно было рассмотреть верхнюю (или нижнюю) половину фигуры. Она находится на интервале . Для этого случая мы бы получили

То есть, для k = 0 получаем интервал . На этом интервале функция монотонно убывающая.

Тогда площадь половины эллипса находится как

А вот правую или левую половины эллипса взять не получится.

Параметрическое представление эллипса с центром в начале координат и полуосями a и b имеет вид . Если действовать так же, как и в разобранном примере, то получим формулу для вычисления площади эллипса .

Окружность с центром в начале координат радиуса R через параметр t задается системой уравнений . Если воспользоваться полученной формулой площади эллипса, то сразу можно записать формулу для нахождения площади круга радиуса R : .

Решим еще один пример.

Пример.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически .

Решение.

Забегая немного вперед, кривая является «вытянутой» астроидой. (Астроида имеет следующее параметрическое представление ).

Остановимся подробно на построении кривой, ограничивающей фигуру. Строить ее мы будем по точкам. Обычно такого построения достаточно для решения большинства задач. В более сложных случаях, несомненно, потребуется детальное исследование параметрически заданной функции с помощью дифференциального исчисления.

В нашем примере .

Эти функции определены для всех действительных значений параметра t , причем, из свойств синуса и косинуса мы знаем, что они периодические с периодом два пи. Таким образом, вычисляя значения функций для некоторых (например ), получим набор точек .

Для удобства занесем значения в таблицу:

Отмечаем точки на плоскости и ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО соединяем их линией.

Вычислим площадь области, расположенной в первой координатной четверти. Для этой области .

При k=0 получаем интервал , на котором функция монотонно убывает. Применяем формулу для нахождения площади:

Полученные определенные интегралы вычислим по формуле Ньютона-Лейбница, а первообразные для формулы Ньютона-Лейбница найдем с помощью рекуррентной формулы вида , где .

Следовательно, площадь четверти фигуры равна , тогда площадь всей фигуры равна .

Аналогично можно показать, что площадь астроиды находится как , а площадь фигуры, ограниченной линией , вычисляется по формуле .

Прежде чем перейти к формулам площади поверхности вращения, дадим краткую формулировку самой поверхности вращения. Поверхность вращения, или, что то же самое - поверхность тела вращения - пространственная фигура, образованная вращением отрезка AB кривой вокруг оси Ox (рисунок ниже).

Представим себе криволинейную трапецию, ограниченную сверху упомянутым отрезком кривой. Тело, образованное вращением этой трапеции вокруг то же оси Ox , и есть тело вращения. А площадь поверхности вращения или поверхности тела вращения - это его внешняя оболочка, не считая кругов, образованных вращением вокруг оси прямых x = a и x = b .

Заметим, что тело вращения и соответственно его поверхность могут быть образованы также вращением фигуры не вокруг оси Ox , а вокруг оси Oy .

Вычисление площади поверхности вращения, заданной в прямоугольных координатах

Пусть в прямоугольных координатах на плоскости уравнением y = f (x ) задана кривая, вращением которой вокруг координатной оси образовано тело вращения.

Формула для вычисления площади поверхности вращения следующая:

(1).

Пример 1. Найти площадь поверхности параболоида, образованную вращением вокруг оси Ox дуги параболы , соответствующей изменению x от x = 0 до x = a .

Решение. Выразим явно функцию, которая задаёт дугу параболы:

Найдём производную этой функции:

Прежде чем воспользоваться формулу для нахождения площади поверхности вращения, напишем ту часть её подынтегрального выражения, которая представляет собой корень и подставим туда найденную только что производную:

Ответ: длина дуги кривой равна

.

Пример 2. Найти площадь поверхности, образуемой вращением вокруг оси Ox астроиды .

Решение. Достаточно вычислить площадь поверхности, получающейся от вращения одной ветви астроиды, расположенной в первой четверти, и умножить её на 2. Из уравнения астроиды выразим явно функцию, которую нам нужно будет подставить в формулу для нахождения площади повержности вращения:

.

Производим интегрирование от 0 до a :

Вычисление площади поверхности вращения, заданной параметрически

Рассмотрим случай, когда кривая, образующая поверхность вращения, задана параметрическими уравнениями

Тогда площадь поверхности вращения вычисляется по формуле

(2).

Пример 3. Найти площадь поверхности вращения, образованной вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной циклоидой и прямой y = a . Циклоида задана параметрическими уравнениями

Решение. Найдём точки пересечения циклоиды и прямой. Приравнивая уравнение циклоиды и уравнение прямой y = a , найдём

Из этого следует, что границы интегрирования соответствуют

Теперь можем применить формулу (2). Найдём производные:

Запишем подкоренное выражение в формуле, подставляя найденные производные:

Найдём корень из этого выражения:

.

Подставим найденное в формулу (2):

.

Произведём подстановку:

И, наконец, находим

В преобразовании выражений были использованы тригонометрические формулы

Ответ: площадь поверхности вращения равна .

Вычисление площади поверхности вращения, заданной в полярных координатах

Пусть кривая, вращением которой образована поверхность, задана в полярных координатах.

Лекции 8. Приложения определенного интеграла.

Приложение интеграла к физическим задачам основано на свойстве аддитивности интеграла по множеству. Поэтому с помощью интеграла могут вычисляться такие величины, которые сами аддитивны по множеству. Например, площадь фигуры равна сумме площадей ее частей Длина дуги, площадь поверхности, объем тела, масса тела обладают тем же свойством. Поэтому все эти величины можно вычислять с помощью определенного интеграла.

Можно использовать два метода решения задач: метод интегральных сумм и метод дифференциалов.

Метод интегральных сумм повторяет конструкцию определенного интеграла: строится разбиение, отмечаются точки, в них вычисляется функция, вычисляется интегральная сумма, производится предельный переход. В этом методе основная трудность – доказать, что в пределе получится именно то, что нужно в задаче.

Метод дифференциалов использует неопределенный интеграл и формулу Ньютона – Лейбница. Вычисляют дифференциал величины, которую надо определить, а затем, интегрируя этот дифференциал, по формуле Ньютона – Лейбница получают требуемую величину. В этом методе основная трудность – доказать, что вычислен именно дифференциал нужной величины, а не что-либо иное.

Вычисление площадей плоских фигур.

1. Фигура ограничена графиком функции, заданной в декартовой системе координат.

Мы пришли к понятию определенного интеграла от задачи о площади криволинейной трапеции (фактически, используя метод интегральных сумм). Если функция принимает только неотрицательные значения, то площадь под графиком функции на отрезке может быть вычислена с помощью определенного интеграла . Заметим, что поэтому здесь можно увидеть и метод дифференциалов.

Но функция может на некотором отрезке принимать и отрицательные значения, тогда интеграл по этому отрезку будет давать отрицательную площадь, что противоречит определению площади.

Можно вычислять площадь по формуле S =. Это равносильно изменению знака функции в тех областях, в которых она принимает отрицательные значения.

Если надо вычислить площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции , а снизу графиком функции , то можно пользоваться формулой S = , так как .

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми x=0, x=2 и графиками функций y=x 2 , y=x 3 .

Заметим, что на интервале (0,1) выполнено неравенство x 2 > x 3 , а при x >1 выполнено неравенство x 3 > x 2 . Поэтому

2. Фигура ограничена графиком функции, заданной в полярной системе координат.

Пусть график функции задан в полярной системе координат и мы хотим вычислить площадь криволинейного сектора, ограниченного двумя лучами и графиком функции в полярной системе координат.

Здесь можно использовать метод интегральных сумм, вычисляя площадь криволинейного сектора как предел суммы площадей элементарных секторов, в которых график функции заменен дугой окружности .

Можно использовать и метод дифференциалов: .

Рассуждать можно так. Заменяя элементарный криволинейный сектор, соответствующий центральному углу круговым сектором, имеем пропорцию . Отсюда . Интегрируя и используя формулу Ньютона – Лейбница, получаем .

Пример. Вычислим площадь круга (проверим формулу). Полагаем . Площадь круга равна .

Пример. Вычислим площадь, ограниченную кардиоидой .

3 Фигура ограничена графиком функции, заданной параметрически.

Функция может быть задана параметрически в виде . Используем формулу S = , подставляя в нее и пределы интегрирования по новой переменной . . Обычно при вычислении интеграла выделяют те области, где подинтегральная функция имеет определенный знак и учитывают соответствующую площадь с тем или иным знаком.

Пример. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом .

Используем симметрию эллипса, вычислим площадь четверти эллипса, находящуюся в первом квадранте. В этом квадранте . Поэтому .

Вычисление объемов тел.

1. Вычисление объемов тел по площадям параллельных сечений.

Пусть требуется вычислить объем некоторого тела V по известным площадям сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными прямой OX, проведенными через любую точку x отрезка прямой OX.

Применим метод дифференциалов. Считая элементарный объем , над отрезком объемом прямого кругового цилиндра с площадью основания и высотой , получим . Интегрируя и применяя формулу Ньютона – Лейбница, получим

2. Вычисление объемов тел вращения.

Пусть требуется вычислить OX .

Тогда .

Аналогично, объем тела вращения вокруг оси OY , если функция задана в виде , можно вычислить по формуле .

Если функция задана в виде и требуется определить объем тела вращения вокруг оси OY , то формулу для вычисления объема можно получить следующим образом.

Переходя к дифференциалу и пренебрегая квадратичными членами, имеем . Интегрируя и применяя формулу Ньютона – Лейбница, имеем .

Пример. Вычислить объем шара .

Пример. Вычислить объем прямого кругового конуса, ограниченного поверхностью и плоскостью .

Вычислим объем, как объем тела вращения, образованного вращением вокруг оси OZ прямоугольного треугольника в плоскости OXZ, катеты которого лежат на оси OZ и прямой z = H , а гипотенуза лежит на прямой .

Выражая x через z, получим .

Вычисление длины дуги.

Для того, чтобы получить формулы для вычисления длины дуги, вспомним выведенные в 1 семестре формулы для дифференциала длины дуги.

Если дуга представляет собой график непрерывно дифференцируемой функции , дифференциал длины дуги можно вычислить по формуле

. Поэтому

Если гладкая дуга задана параметрически , то

. Поэтому .

Если дуга задана в полярной системе координат , то

. Поэтому .

Пример. Вычислить длину дуги графика функции, . .

На уроках об уравнении прямой на плоскости и уравнениях прямой в пространстве .

Встречайте старую знакомую:

Криволинейную трапецию гордо венчает график , и, как вы знаете, её площадь рассчитывается с помощью определённого интеграла по элементарной формуле или, если короче: .

Рассмотрим ситуацию, когда эта же функция задана в параметрическом виде .

Как найти площадь в этом случае?

При некотором вполне конкретном значении параметра параметрические уравнения будут определять координаты точки , а при другом вполне конкретном значении – координаты точки . Когда «тэ» изменяется от до включительно, параметрические уравнения как раз и «прорисовывают» кривую . Думаю, на счёт пределов интегрирования стало всё понятно. Теперь в интеграл вместо «икса» и «игрека» подставляем функции и раскрываем дифференциал:

Примечание : подразумевается, что функции непрерывны на промежутке интегрирования и, кроме того, функция монотонна на нём.

Формула объёма тела вращения получается так же просто:

Объём тела, получаемого вращением криволинейной трапеции вокруг оси , рассчитывается по формуле или: . Подставляем в неё параметрические функции , а также пределы интегрирования :

Пожалуйста, занесите обе рабочие формулы в свой справочник.

По моим наблюдениям, задачи на нахождение объёма встречаются довольно редко, и поэтому значительная часть примеров данного урока будет посвящена нахождению площади. Не откладываем дело в долгий ящик:

Пример 1

Вычислить площадь криволинейной трапеции , если

Решение : используем формулу .

Классическая задача по теме, которая разбирается всегда и везде:

Пример 2

Вычислить площадь эллипса

Решение : для определённости полагаем, что параметрические уравнения задают канонический эллипс с центром в начале координат, большой полуосью «а» и малой полуосью «бэ». То есть, по условию нам предложено не что иное, как

найти площадь эллипса

Очевидно, что параметрические функции периодичны, и . Казалось бы, можно заряжать формулу, однако не всё так прозрачно. Выясним направление , в котором параметрические уравнения «вычерчивают» эллипс. В качестве ориентира найдём несколько точек, которые соответствуют наиболее простым значениям параметра:

Легко уловить, что при изменении параметра «тэ» от нуля до «двух пи» параметрические уравнения «вычерчивают» эллипс против часовой стрелки :


В силу симметричности фигуры, вычислим часть площади в 1-й координатной четверти, а результат умножим на 4. Здесь мы наблюдаем принципиально такую же картину, которую я комментировал чуть выше: параметрические уравнения «прорисовывают» дугу эллипса «в противоход» оси , но площадь фигуры считается слева направо! Поэтому нижнему пределу интегрирования соответствует значение , а верхнему пределу – значение .

Как я уже советовал на уроке Площадь в полярных координатах , учетверить результат лучше сразу же :

Интеграл (если у кого-то вдруг обнаружился такой невероятный пробел) разобран на уроке Интегралы от тригонометрических функций .

Ответ :

По сути, мы вывели формулу для нахождения площади эллипса . И если на практике вам встретится задача с конкретными значениями «а» и «бэ», то вы легко сможете выполнить сверку/проверку, поскольку задача решена в общем виде.

Площадь эллипса рассчитывается и в прямоугольных координатах, для этого из уравнения необходимо выразить «игрек» и решить задачу точь-в-точь по образцу Примера №4 статьи Эффективные методы решения определённых интегралов . Обязательно посмотрите на этот пример и сравните, насколько проще вычислить площадь эллипса, если он задан параметрически.

И, конечно же, чуть не забыл, параметрические уравнения могут задавать окружность либо эллипс в неканоническом положении.

Пример 3

Вычислить площадь одной арки циклоиды

Чтобы решить задачу, нужно знать, что такое циклоида или хотя бы чисто формально выполнить чертеж. Примерный образец оформления в конце урока. Впрочем, не буду вас отправлять за тридевять земель, на график этой линии можно посмотреть в следующей задаче:

Пример 4

Решение : параметрические уравнения задают циклоиду, и ограничение указывает на тот факт, что речь идёт о её первой арке , которая «прорисовывается», когда значение параметра изменяется в пределах . Заметьте, что здесь «правильное» направление этой «прорисовки» (слева направо), а значит, не возникнет заморочек с пределами интегрирования. Но зато появится куча других прикольных вещей =) Уравнение задаёт прямую , параллельную оси абсцисс и дополнительное условие (см. линейные неравенства ) сообщает нам о том, что нужно вычислить площадь следующей фигуры:

Искомую заштрихованную фигуру я буду ассоциативно называть «крышей дома», прямоугольник – «стеной дома», а всю конструкцию (стена + крыша) – «фасадом дома». Хотя это сооружение больше напоминает какой-то коровник =)

Чтобы найти площадь «крыши» необходимо из площади «фасада» вычесть площадь «стены».

Сначала займёмся «фасадом». Для нахождения его площади нужно выяснить значения , которые задают точки пересечения прямой с первой аркой циклоиды (точки и ). В параметрическое уравнение подставим :

Тригонометрическое уравнение легко решить, банально взглянув на график косинуса : на промежутке равенству удовлетворяют два корня: . В принципе, всё понятно, но, тем не менее, перестрахуемся и подставим их в уравнение :

– это «иксовая» координата точки ;

– а это «иксовая» координата точки .

Таким образом, мы убедились в том, что значение параметра соответствует точке , а значение – точке .

Вычислим площадь «фасада». Для более компактной записи функция часто дифференцируется прямо под интегралом:

Площадь «стены» можно вычислить «школьным» методом, перемножив длины смежных сторон прямоугольника. Длина очевидна, осталось найти . Она рассчитывается как разность «иксовых» координат точек «цэ» и «бэ» (найдены ранее):

Площадь «стены»:

Разумеется, её не стыдно найти и с помощью простейшего определённого интеграла от функции на отрезке :

В результате, площадь «крыши»:

Ответ :

И, конечно же, при наличии чертежа прикидываем по клеточкам, похож ли полученный результат на правду. Похож.

Следующая задача для самостоятельного решения:

Пример 5

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями

Кратко систематизируем алгоритм решения:

– В большинстве случаев придётся выполнить чертёж и определить фигуру, площадь которой требуется найти.

– На втором шаге следует понять, каким образом рассчитывается искомая площадь: это может быть одиночная криволинейная трапеция, может быть разность площадей, может быть сумма площадей – короче говоря, все те фишки, которые мы рассматривали на уроке .

– На третьем шаге надо проанализировать, целесообразно ли пользоваться симметрией фигуры (если она симметрична), после чего узнать пределы интегрирования (начальное и конечное значение параметра). Обычно для этого необходимо решить простейшее тригонометрическое уравнение – здесь можно использовать аналитический метод, графический метод или бесхитростный подбор нужных корней по тригонометрической таблице .

! Не забываем , что параметрические уравнения могут «прорисовывать» линию и справа налево, в этом случае делаем соответствующую оговорку и поправку в рабочей формуле.

– И на завершающем этапе проводятся технические вычисления. Правдоподобность полученного ответа всегда приятно оценить по чертежу.

А сейчас долгожданная встреча со звёздой:

Пример 6

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями

Решение : кривая, заданная уравнениями является астроидой , и линейное неравенство однозначно определяет заштрихованную на чертеже фигуру:

Найдём значения параметра, которые определяют точки пересечения прямой и астроиды. Для этого подставим в параметрическое уравнение :

Способы решения подобного уравнения уже перечислены выше, в частности, эти корни легко подбираются по тригонометрической таблице .

Фигура симметрична относительно оси абсцисс, поэтому вычислим верхнюю половинку площади (синяя штриховка), а результат удвоим.

Подставим значение в параметрическое уравнение :
В результате получена «игрековая» координата верхней (нужной нам) точки пересечения астроиды и прямой.

Правой вершине астроиды, очевидно, соответствует значение . Выполним на всякий случай проверку:
, что и требовалось проверить.

Как и в случае с эллипсом, параметрические уравнения «прорисовывают» дугу астроиды справа налево. Для разнообразия оформлю концовку вторым способом: при изменении параметра в пределах функция убывает, следовательно (не забываем удвоить!!):

Интеграл получился довольно громоздкий, и чтобы «не таскать всё за собой» тут лучше прервать решение и преобразовать подынтегральную функцию отдельно. Стандартно понижаем степень с помощью тригонометрических формул :

Годится, в последнем слагаемом подведём функцию под знак дифференциала :

Ответ :

Да, тяжеловато приходится со звёздами =)

Следующее задание для продвинутых студентов:

Пример 7

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями

Для его решения будет достаточно материалов, которые мы уже рассмотрели, но привычный путь весьма долог, и сейчас я расскажу ещё об одном эффективном методе. Идея на самом деле знакома из урока Вычисление площади с помощью определённого интеграла – это интегрирование по переменной «игрек» и использование формулы . Подставляя в неё параметрические функции , получаем зеркальную рабочую формулу:

Действительно, ну а чем она хуже «стандартной»? В этом состоит ещё одно преимущество параметрической формы – уравнения способны исполнять роль не только «обычной» , но одновременно и обратной функции .

В данном случае предполагается, что функции непрерывны на промежутке интегрирования и функция монотонна на нём. Причём, если убывает на промежутке интегрирования (параметрические уравнения «прорисовывают» график «в противоход» (внимание!! ) оси ), то следует по уже рассмотренной технологии переставить пределы интегрирования либо изначально поставить «минус» перед интегралом.

Решение и ответ Примера №7 в конце урока.

Заключительный мини-раздел посвящен более редкой задаче:

Как найти объем тела вращения,
если фигура ограничена параметрически заданной линией?

Актуализируем формулу, выведенную в начале урока: . Общая методика решения точно такая же, как и при нахождении площади. Выдерну немногочисленные задачи из своей копилки.