Сопряжение линий дугами окружностей. Сопряжение прямой с окружностью. Методические указания по выполнению

Сопряжение дуги и прямой дугой окружности заданного радиуса

Могут встретиться два случая такого сопряжения: внешнее касание сопрягающей дуги с заданной и внутреннее касание. В обоих случаях задача сводится к определению центра сопрягающей дуги и точек касания.

При внешнем касании (рисунок 52, а) из центра заданной дуги – точки O 1 проводят вспомогательную дугу радиусом R + R с . На расстоянии, равном радиусу R c сопрягающей дуги, параллельно заданной прямой проводят прямую. Точка О пересечения вспомогательной дуги и прямой есть центр сопрягающей дуги. На пересечении прямой, соединяющей точки О и O 1 с заданной дугой, отмечают точку касания A . Вторую точку касания В определяют как точку пересечения заданной прямой с перпендикуляром, опущенным на нее из точки О .

При внутреннем касании (рисунок 52, б) определение центра сопрягающей дуги и точек касания аналогичны предыдущему случаю с той лишь разницей, что радиус вспомогательной дуги равен R c – R .

Рисунок 52

Различают три вида такого сопряжения:

1) внешнее сопряжение при внешнем касании сопрягающей дуги с двумя заданными;

2) внутреннее сопряжение при внутреннем касании сопрягающей дуги с двумя заданными;

3) смешанное сопряжение при внешнем касании сопрягающей дуги с одной заданной и внутреннем касании с другой.

При внешнем сопряжении (рисунок 53, а) центр сопрягающей дуги точка O располагается в точке пересечения вспомогательных дуг радиусами r + R c и R + R c , проведенных соответственно из центров сопрягаемых дуг – точек O 2 и O 1 . Точки касания A и B определяются как точки пересечения заданных дуг с прямыми OO 1 и OO 2 .

Внутреннее сопряжение дуг радиусами r и R дугой радиусом R c показано на рисунке 53, б. Для определения центра сопрягающей дуги – точки О проводят вспомогательные дуги радиусами R c – r и R c – R соответственно из центров заданных дуг – точек O 2 и O 1 . Точка О пересечения этих дуг и явится центром сопрягающей дуги. Из точки О через точки O 1 и O 2 проводят прямые до пересечения с заданными дугами и получают соответственно две точки касания – A и B .

Рисунок 53

При смешанном сопряжении центр сопрягающей дуги – точка О определяется как точка пересечения двух вспомогательных дуг радиусами R c +R и R с – r (рисунок 53, в) или R с – R и R с + r , проведенных соответственно из центров заданных дуг – точек O 1 и O 2 . Для определения точек касания сопрягающей дуги с заданными проводят две прямые: одну через точки О и O 1 , другую через точки О и O 2 . Точки пересечения каждой из них с заданными дугами дают искомые точки касания A и B .

Записи в тетради фиолетовый цвет, желтый фон – пояснения

Читаем понимаем, то что черный шрифт

Делаем то, что не сделано в тетради, если ее нет, то на А4 - форматах, что бы вклеить в тетрадь

Тема. Сопряжения.

Значение сопряжений в техническом черчении

Графическая работа № 5. Чертёж технической детали с применением сопряжений. Формат А4 (210 × 297).

Плавный переход одной линии в другую называется сопряжением. Общая для сопрягаемых линий точка называется точкой сопряжения, или точкой перехода. Для построения сопряжений надо найти центр сопряжения и точки сопряжений. Рассмотрим различные типы сопряжений.

Сопряжение прямого угла. Пусть необходимо выполнить сопряжение прямого угла радиусом сопряжения, равным отрезку АВ (R=AB). Найдем точки сопряжения. Для этого поставим ножку циркуля в вершину угла и раствором циркуля, равным отрезку АВ, сделаем засечки на сторонах угла. Полученные точки а и b являются точками сопряжения. Найдем центр сопряжения - точку, равноудаленную от сторон угла. Раствором циркуля, равным радиусу сопряжения, из точек а и b проведем внутри угла две дуги до пересечения друг с другом. Полученная точка О - центр сопряжения. Из центра сопряжения описываем дугу заданного радиуса от точки а до точки Ь. Обводим вначале дугу, а затем прямые линии

Сопряжение острого и тупого углов .

Чтобы построить сопряжение острого угла, возьмем раствор циркуля, равный заданному радиусу R=AB. Поочередно поставим ножку циркуля в двепроизвольные точки на каждой из сторон острого углса. Проведем четыре дуги внутри угла, жак показано на ргас. 71, а. К ним проведем две касательные до пересечения в точке О - центре сопряжения (рис. 71, б)- Из центра сопряжения опустим перпендикуляры на стороны угла. Полученные точки а и b будут точками сопряжения (рис. 71, б). Поставив ножку циркуля в центр сопряжения (О), раствором циркуля, равным заданному радиусу сопряжения (R=AB), проведем дугу сопряжения.

Сопряжение двух параллельных прямых.

Заданы две параллельные прямые и точка d, лежащая на одной из них (рис.72). Рассмотрим последовательность построения сопряжения двух прямых. В точке d восставим перпендикуляр до пересечения его с другой прямой. Точки d и е являются точками сопряжения. Разделив отрезок de пополам, найдем центр сопряжения. Из него радиусом сопряжения проводим дугу, сопрягающую прямые.

Сопряжение дуг двух окружностей дугой заданного радиуса.

Существует несколько типов сопряжения дуг двух окружностей дугой заданного радиуса: внешнее, внутреннее и смешанное.

Построение внутреннего сопряжения .

а). радиусы сопрягаемых окружностей R1 и R2;

б). расстояние l1 и l2 между центрами этих дуг;

в). радиус R сопрягающей дуги.

Требуется:

б).найти точки сопряжения s1 и s2;

в).провести дугу сопряжения.

По заданным расстояниям между центрами l1 и l2 на чертеже намечают центры О и О1, из которых описывают сопрягаемые дуги радиусов R1 и R2. Из центра О1 проводят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным разности радиусов сопрягающей дуги R и сопрягаемой R2, а из центра О -радиусом, равным разности радиусов сопрягающей дуги R и сопрягаемой R1. Вспомогательные дуги пересекутся в точке О2, которая и будет искомым центром сопрягающей дуги.

Для нахождения точек сопряжения точку О2 соединяют с точками О и О1 прямыми линиями. Точки пересечения продолжения прямых О2О и О2О1 с сопрягаемыми дугами являются искомыми точками сопряжения(точки s и s1).

Радиусом R из центра О2 проводят сопрягающую дугу между точками сопряжения s и s1.

Построение внешнего сопряжения.

б).расстояние l1 и l2 между центрами этих дуг;

в).радиус R сопрягающей дуги.

Требуется:

а).определить положение центра О2 сопрягающей дуги;

в).найти точки сопряжения s и s1;

в).провести дугу сопряжения.

Построение внешнего сопряжения показано на рис. 18,б. По заданным расстояниям между центрами l1 и l2 на чертеже находят точки О и О1, из которых описывают сопрягаемые дуги радиусов R1 и R2. Из центра О проводят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным сумме радиусов сопрягаемой дуги R1 и сопрягающей R, а из центра О1 -радиусом, равным сумме радиусов сопрягаемой дуги R2 и сопрягающей R. Вспомогательные дуги пересекутся в точке О2, которая будет искомым центром сопрягающей дуги.

Для нахождения точек сопряжения центры дуг соединяют прямыми линиями ОО2 и О2О2. Эти две прямые пересекают сопрягаемые дуги в точках сопряжения s и s1. Из центра О2 радиусом R проводят сопрягающую дугу, ограничивая ее точками сопряжения s1 и s.

Построение смешанного сопряжения .

а).радиусы R1 и R2 сопрягаемых дуг окружностей;

б).расстояния l1 и l2 между центрами этих дуг;

в).радиус R сопрягающей дуги.

Требуется:

а).определить положение центра О2 сопрягающей дуги;

б).найти точки сопряжения s и s1;

в).провести дугу сопряжения.

По заданным расстояниям между центрами l1 и l2 на чертеже намечают центры О и О1, из которых описывают сопрягаемые дуги радиусов R1 и R2. Из центра О проводят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным сумме радиусов сопрягаемой дуги R1 и сопрягающей R, а из центра О1 -радиусом, равным разности радиусов R и R2. Вспомогательные дуги пересекутся в точке О2, которая будет искомым центром сопрягающей дуги.

Соединив точки О и О2 прямой, получают точку сопряжения s1; соединив точки О1 и О2, находят точку сопряжения s. Из центра О2 проводят дугу сопряжения от s до s1.

При вычерчивании контура детали необходимо разобраться, где имеются плавные переходы, и представить себе, где надо выполнить те или иные виды сопряжения.

Для приобретения навыков построения сопряжения выполняют упражнения по вычерчиванию контуров сложных деталей. Перед упражнением необходимо просмотреть задание, наметить порядок построения сопряжений и только после этого приступить к выполнению построений.

Тема Лекальные кривые.

Общие сведения. Правила пользования лекалом. Построение лекальных кривых: эллипса, параболы, гиперболы, циклоиды, синусоиды, эвольвенты, Спирали Архимеда.Практическая работа. Упражнение на построение лекальных кривых

Коробовые кривые линии.

Некоторые детали машин, инструменты для обработки металлов имеют контуры, ограниченные замкнутыми кривыми линиями, состоящими из взаимно сопрягающихся дуг окружностей различных диаметров.

Коробовыми кривыми называются кривые, образованные сопряжением дуг окружностей. К таким кривым относятся овалы, овоиды, завитки.

Построение овала.

Овал- замкнутая коробовая кривая, имеющая две оси симметрии.

Последовательность построения овала по заданному размеру большой оси овала АВ производят следующим образом (рис. ,а). Ось АВ делят на три равные части (АО1, О1О2, О2В). Радиусом, равным О1О2, из точек деления О1 и О2 проводят окружности, пересекающиеся в точках m и n.

Соединив точки n и m с точками О1 и О2, получают прямые nО1, nО2, mО1, mО2, которые продолжают до пересечения с окружностями. Полученные точки 1,2,3, и 4 являются точками сопряжения дуг. Из точек m и n, как из центров, радиусом R1, равным n2 и m3, проводят верхнюю дугу 12 и нижнюю дугу 34.

Проводят оси АВ и СD. Из точки их пересечения радиусом ОС(половина малой оси овала) проводят дугу до пересечения с большой осью овала АВ в точке N. Точку А соединяют прямой с точкой С и на ней от точки С откладывают отрезок NB, получают точку N. В середине отрезка AN1 восставляют перпендикуляр и продолжают его до пересечения с большой и малой осями овала в точках О1 и n. Расстояние ОО1 откладывают по большой оси овала вправо от точки О, а расстояние on от точки О откладывают по малой оси овала вверх, получают точки n1 и О2. Точки n и n1 являются центрами верхней дуги 12 и нижней дуги 34 овала, а точки О1 и О2-центрами дуг 13 и 24. Получают искомый овал.

Построение завитков.

Завиток- плоская спиральная кривая, вычерчиваемая циркулем путем сопряжения дуг окружностей.

Построение завитков выполняют при вычерчивании таких деталей, как пружины и спиральные направляющие.

Построение овоида.

Овоид- замкнутая коробовая кривая,имеющая только одну ось симметрии. Радиусы R и R1 дуг окружностей, центры которых лежат на оси симметрии овоида, не равны друг другу.

Построение овоида по заданной оси АВ выполняется в следующей последовательности.

Проводят окружность диаметром, равным оси АВ овоида. Из точек А и В через точку О1(точка пересечения окружности радиуса R с осью симметрии) проводят прямые. Из точек А и В, как из центров, радиусом R2, равным оси АB, проводят дуги An и Bm, а из центра О1 радиусом R1 проводят малую дугу овоида nm.

Построение завитков выполняется из двух, трех и более центров и зависит от формы и размеров «глазка», который может быть окружностью, правильным треугольником, шестиугольником и т.п. Последовательность построения завитка следующая.

Вычерчивается в тонких линиях контур «глазка», например окружность с диаметром О1О2. Из точек О1 и О2, как из центров, проводят две сопряженные между собой полуокружности. Верхняя полуокружность О21 из центра О1, нижняя полуокружность 12 из центра О2. Получается искомый завиток.

Лекальные кривые.

При выполнении чертежей часто приходится прибегать к вычерчиванию кривых, состоящих из ряда сопряженных частей, которые невозможно провести циркулем. Такие кривые строят обычно по ряду принадлежащих им точек, которые затем соединяют плавной линией сначала от руки карандашом, а затем обводят при помощи лекал.

Рассматриваемые лекальные кривые располагаются в одной плоскости и называются поэтому плоскими.

Лекальные кривые широко применяются в машиностроении для очертания различных технических деталей, например: кронштейнов, ребер жесткости, кулачков, зубчатых колес, фасонного инструмента и т.п.

К лекальным кривым относят эллипс, параболу, гиперболу, циклоиду, эпициклоиду, эвольвенту, синусоиду, спираль Архимеда и др.

Ниже рассмотрены способы построения кривых, наиболее часто встречающихся в технике.

Построение эллипса.

Эллипс- замкнутая плоская кривая, сумма расстояний каждой точки которой до двух данных точек(фокусов), лежащих на большой оси, есть величина постоянная и равная длине большой оси.

Широко применяемый в технике способ построения эллипса по большой(АВ) и малой(СD) осям.

Проводят две перпендикулярные осевые линии. Затем от центра О откладывают вверх и вниз по вертикальной оси отрезки, равные длине малой полуоси, а влево и вправо по горизонтальной оси-отрезки, равные длине большой полуоси.

Из центра О радиусами ОА и ОС проводят две концентрические окружности и ряд лучей-диаметров. Из точек пересечения лучей с окружностями проводят линии, параллельные осям эллипса, до взаимного пересечения в точках, принадлежащих эллипсу. Полученные точки соединяют от руки и обводят по лекалу.

Построение параболы.

Парабола- плоская кривая, каждая точка которой равноудалена от директрисы DD1 прямой, перпендикулярной к оси симметрии параболы, и от фокуса F-точки, расположенной на оси симметрии параболы.

Расстояние KF между директрисой и фокусом называется параметром p параболы. Точка О, лежащая на оси симметрии, называется вершиной параболы и делит параметр p пополам.

Для построения параболы по заданной величине параметра p проводят ось симметрии параболы(на рисунке вертикально) и откладывают отрезок KF=p. Через точку K перпендикулярно оси симметрии проводят директрису DD1. Отрезок KF делят пополам и получают вершину О параболы. От вершины О вниз на оси симметрии намечают ряд произвольных точек I-IV с постепенно увеличивающимся расстоянием между ними. Через эти точки проводят вспомогательные прямые, перпендикулярные оси симметрии. На вспомогательных прямых из фокуса F делают засечки радиусом, равным расстоянию от прямой до директрисы. Например, из точки F на вспомогательной прямой, проходящей через точки V, делают засечку дугой R1=KV; полученная точка 5 принадлежит параболе.

В станкостроении и других отраслях машиностроения часто применяются детали, контурные очертания которых выполнены по параболе, например, стойка и рукав радиально-сверлильного станка.

Построение синусоиды .

Синусоида- плоская кривая, изображающая изменение синуса в зависимости от изменения угла.

Величина L называется длиной волны синусоиды, L=ПR.

Для построения синусоиды проводят горизонтальную ось и на ней откладывают заданную длину АВ (рис. 24), Отрезок АВ делят на несколько равных частей, например, на 12. Слева вычерчивают окружность, радиус которой равен величине амплитуды, и делят её также на 12 равных частей; точки деления нумеруют и через них проводят горизонтальные прямые. Из точек деления отрезка АВ восставляют перпендикуляры к оси синусоиды и на их пересечении с горизонтальными прямыми находят точки синусоиды.

Полученные точки синусоиды а1, а2, а3,...соединяют по лекалу кривой.

При выполнении чертежей деталей или инструментов, поверхности которых очерчены по синусоиде, величину длины волны АВ обычно выбирают независимо от размера амплитуды r. Например, при вычерчивании шнека длина волны L меньше размера 2Пr. Такая синусоида называется сжатой. Если длина волны больше размера 2Пr, то синусоида называется вытянутой.

Построение гиперболы.

Гипербола- плоская кривая, состоящая из двух разомкнутых, симметрично расположенных ветвей(рис. 25). Разность расстояний от каждой точки гиперболы до двух данных точек(фокусов F и F1) есть величина постоянная и равная расстоянию между вершинами гиперболы А и В.

Рассмотрим прием построения гиперболы по заданным вершинам А и В и фокусному расстоянию FF1

Разделив фокусное расстояние FF1 пополам, получают точку О, от которой в обе стороны откладывают по половине заданного расстояния между вершинами А и В. Вниз от фокуса F намечают рад произвольных точек 1,2,3,4...с постепенно увеличивающимся расстоянием между ними. Из фокуса F описывают дугу вспомогательной окружности радиусом R, равным, например, расстоянию от вершины гиперболы В до точки 3. Из фокуса F1 проводят вторую дугу вспомогательной окружности радиусом r, равным расстоянию от вершины А до точки 3. На пересечении этих дуг находят точки С и С1, принадлежащие гиперболе. Таким же способом находят остальные точки гиперболы.

Форма многих деталей имеет плавный переход одной поверх­ности в другую (рис. 59). Для построения на чертежах контуров таких поверхностей используются сопряжения - плавный пере­ход одной линии в другую.

Для построения линии сопряжений необходимо знать центр, точки и радиус сопряжения.

Центром сопряжения является точка, равноудаленная от со­прягаемых линий (прямых или кривых). В точках сопряжений происходит переход (касание) линий. Радиусом сопряжения на­зывается радиус дуги сопряжения, с помощью которой происхо­дит сопряжение.

Рис. 59. Примеры плавного соединения поверхностей хлебницы и линий на проекции ее боковой стенки

Рис. 60. Сопряжение углов на примере построения проекции боковой стенки хлебницы

Центр сопряжения должен находиться на пересечении допол­нительно построенных линий (прямых или дуг), равноудаленных от заданных линий (прямых или дуг) либо на величину радиуса сопряжения, либо на специально рассчитываемое для данного типа сопряжения расстояние.

Точки сопряжения должны находиться на пересечении задан­ной прямой с перпендикуляром, опущенным из центра сопряже­ния на заданную прямую, либо на пересечении заданной окруж­ности с прямой, соединяющей центр сопряжения с центром за­данной окружности.

Сопряжение углов. Рассмотрим последовательность сопряже­ния углов (рис. 60) на примере построения проекции боковой стенки хлебницы:

1) построим трапецию, условно принимая ее за изображение формы заготовки для стенки хлебницы;

2) найдем центры сопряжения как точки пересечения вспомо­гательных линий, равноудаленных от сторон трапеции на рас­стояние, равное радиусу сопряжения, и параллельных им;

3) найдем точки сопряжения - точки пересечений перпенди­куляров, опущенных на стороны трапеции из центров сопря­жения;

4) из центров сопряжения проведем дуги радиусом сопряже­ния от одной точки сопряжения до другой; при обводке получен­ного изображения вначале обведем дуги сопряжений, а затем - сопрягаемые линии.

Сопряжение прямой и окружности дугой заданного радиуса. Рассмотрим это на примере построения фронтальной проекции детали «Опора» (рис. 61). Будем считать, что большая часть по­строения проекции уже сделана; необходимо отобразить плавный переход цилиндрической части поверхности к плоской. Для этого необходимо выполнить сопряжение окружности (дуги окружно­сти) с прямой линией заданным радиусом:

1) найдем центры сопряжения как точки пересечения четырех вспомогательных линий: двух прямых, параллельных верхнему ребру основания «Опоры» и удаленных от нее на расстояние, равное радиусу сопряжения, и двух вспомогательных дуг, от­стоящих от заданной дуги (цилиндрической поверхности) «Опо­ры» на расстояние, равное радиусу сопряжения;

2) найдем точки сопряжения как точки пересечения: а) задан­ных прямых (ребер «Опоры») с перпендикулярами, опущенными к ним из центров сопряжения; б) заданной дуги, изображающей на чертеже цилиндрическую поверхность опоры, с прямыми, со­единяющими центры сопряжения с центром сопрягаемой дуги;

3) из центров сопряжения проводим дуги радиусом сопряже­ния от одной точки сопряжения до другой. Обводим изображе­ние.

Сопряжение дуг окружностей дугами заданного радиуса. Рассмотрим это на примере построения фронтальной проекции формы для выпечки печенья (рис. 62), имеющей плавные перехо­ды одной поверхности в другую:

1) проведем вертикальную и горизонтальные осевые линии. На них найдем центры и проведем три дуги радиусом R;

2) найдем центр сопряжения двух верхних окружностей как точку пересечения вспомогательных дуг радиусами, равными сумме радиусов заданной окружности (R) и сопряжения (R 1), т.e.R + R 1 ;

3) найдем точки сопряжения как точки пересечения заданных окружностей с прямыми, соединяющими центр сопряжения с центрами окружностей. Такое сопряжение называют внешним сопряжением;

Рис. 61. Сопряжение дуги и прямых линий на примере построения фронтальной проекции детали «Опора»

Рис. 62. Сопряжение трех дуг окружностей дугами заданных радиусов на примере
построения фронтальной проекции формы для выпечки печенья

4) построим сопряжения двух окружностей дугой заданного радиуса сопряжения R 2 . Сначала найдем центр сопряжения перассечением дуг вспомогательных окружностей, радиусы которых равны разности радиуса сопряжения R 2 и радиуса окружности R, т. е. R 2 - R. Точки сопряжения получены на пересечении ок­ружности с продолжением линии, соединяющей центр сопряже­ния с центром окружности. Из центра сопряжения проведем ду­гу радиусом R 2 . Такое сопряжение называется внутренним со­пряжением;

5) аналогичные построения выполним с другой стороны от оси симметрии.

Здесь может быть рассмотрено два случая: внешнее сопряжение (рисунок 37, а ) и внутреннее (рисунок 37, б). В том и в другом случае при построении сопрягающей дуги радиуса R центр сопряжения О лежит на пересечении геометрических мест точек, равно удаленных от прямой и дуги радиуса R на величину R 1 .

При построении внешнего сопряжения параллельно заданной прямой на расстоянии R 1 в сторону окружности проводят вспомогательную прямую, а из центра О радиусом,равным R + R 1 , - вспомогательную окружность, и на их пересечении получают точку О 1 - центр сопрягающей окружности. Из этого центра радиусом R проводят сопрягающую дугу между точками А и А 1 , построение которых видно из чертежа.

Рисунок 37 - Сопряжение окружности и прямой линии второй дугой

Построение внутреннего сопряжения отличается тем, что из центра О проводят вспомогательную дугу радиусом, равным R - R 1 .

Овалы

Плавные выпуклые кривые, очерченные дугами окружностей разных радиусов, называют овалами. Овалы состоят из двух опорных окружностей с внутренними сопряжениями между ними.

Различают овалы трехцентровые и многоцентровые. При вычерчивании многих деталей, например кулачков, фланцев, крышек и других, контуры их очерчивают овалами. Рассмотрим пример построения овала по заданным осям. Пусть для четырехцентрового овала, очерченного двумя опорными дугами радиуса R и двумя сопрягающими дугами радиуса r , заданы большая ось АВ и малая ось CD. Величину радиусов R u r надо определить путем построений (рисунок 38). Соединим концы большой и малой оси отрезком AС, на котором отложим разность СЕ большой и малой полуосей овала. Проведем перпендикуляр к середине отрезка AF, который пересечет большую и малую оси овала в точках О 1 и О 2 . Эти точки будут центрами сопрягающихся дуг овала, а точка сопряжения будет лежать на самом перпендикуляре.

Рисунок 38 – Построение овала

Лекальные кривые

Лекальными называют плоские кривые, вычерченные с помощью лекал по предварительно построенным точкам. К лекальным кривым относят: эллипс параболу, гиперболу, циклоиду, синусоиду эвольвенту и др.

Эллипс представляет собой замкнутую плоскую кривую второго порядка. Она характеризуется тем, что сумма расстояний от любой ее точки до двух точек фокусов есть величина постоянная, равная большей оси эллипса. Построить эллипс можно несколькими способами. Например, можно построить эллипс по его большой АВ и малой CD осям (рисунок 39, а ). На осях эллипса как на диаметрах строят две окружности, которые можно разделить радиусами на несколько частей. Через точки деления большой окружности проводят прямые, параллельные малой оси эллипса, а через точки деления малой окружности - прямые, параллельные большой оси эллипса. Точки пересечения этих прямых и являются точками эллипса.

Можно привести пример построения эллипса по двум сопряженным диаметрам (рисунок 39,б) MN и KL. Сопряженными два диаметра называют, если каждый из них делит пополам хорды, параллельные другому диаметру. На сопряженных диаметрах строят параллелограмм. Один из диаметров MN делят на равные части; на такие же части делят и стороны параллелограмма, параллельные другому диаметру, нумеруя их, как показано на чертеже. Из концов второго сопряженного диаметра KL через точки деления проводят лучи. В пересечении одноименных лучей получают точки эллипса.

Рисунок 39 – Построение эллипса

Параболой называют незамкнутую кривую второго порядка, все точки которой равно удалены от одной точки - фокуса и от данной прямой - директрисы.

Рассмотрим пример построения параболы по ее вершине О и какой-либо точке В (рисунок 40, а). С этой целью строят прямоугольник ОABC и делят его стороны на равные части, из точек деления проводят лучи. В пересечении одноименных лучей получают точки параболы.

Можно привести пример построения параболы в виде кривой, касательной прямой с заданными на них точками А и В (рисунок 40, б). Стороны угла, образованного этими прямыми, делят на равные части и нумеруют точки деления. Одноименные точки соединяют прямыми. Параболу вычерчивают как огибающую этих прямых.

Рисунок 40 – Построение параболы

Гиперболой называют плоскую незамкнутую кривую второго порядка, состоящую из двух веток, концы которых удаляются в бесконечность, стремясь к своим асимптотам. Гипербола отличается тем, что каждая точка ее обладает особым свойством: разность ее расстояний от двух данных точек-фокусов есть величина постоянная, равная расстоянию между вершинами кривой. Если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, она называется равнобокой. Равнобокая гипербола широко применяется для построения различных диаграмм, когда задана своими координатами одна точка М (риссунок 40, в). В этом случае через заданную точку проводят линии АВ и KL параллельно координатным осям. Из полученных точек пересечения проводят линии, параллельные координатным осям. В их пересечении получают точки гиперболы.

Циклоидой называют кривую линию, представляющую собой траекторию точки А при перекатывании окружности (рисунок 41). Для построения циклоиды от исходного положения точки А откладывают отрезок АА], отмечают промежуточное положение точки А. Так, в пересечении прямой, проходящей через точку 1, с окружностью, описанной из центра О 1 , получают первую точку циклоиды. Соединяя плавной прямой построенные точки, получают циклоиду.

Рисунок 41 – Построение циклоиды

Синусоидой называют плоскую кривую, изображающую изменение синуса в зависимости от изменения его угла. Для построения синусоиды (рисунок 42) нужно разделить окружность на равные части и на такое же количество равных частей разделить отрезок прямой АВ = 2лR. Из одноименных точек деления провести взаимно перпендикулярные линии, в пересечении которых получают точки, принадлежащие синусоиде.

Рисунок 42 – Построение синусоиды

Эвольвентой называют плоскую кривую, являющуюся траекторией любой точки прямой линии, перекатываемой по окружности без скольжения. Построение эвольвенты выполняют в следующем порядке (рисунок 43): окружность делят на равные части; проводят касательные к окружности, направленные в одну сторону и проходящие через каждую точку деления; на касательной, проведенной через последнюю точку деления окружности, откладывают отрезок, равный длине окружности 2 лR, который делят на столько же равных частей. На первой касательной откладывают одно деление 2 лR/n , на второй - два и т. д.

Полученные точки соединяют плавной кривой и получают эвольвенту окружности.

Рисунок 43 – Построение эвольвенты

Вопросы для самопроверки

1 Как разделить отрезок на любое равное число частей?

2 Как поделить угол пополам?

3 Как разделить окружность на пять равных частей?

4 Как построить касательную из заданной точки к данной окружности?

5 Что называется сопряжением?

6 Как сопрячь две окружности дугой заданного радиуса с внешней стороны?

Подробности Категория: Инженерная графика

Страница 3 из 6

СОПРЯЖЕНИЕ ЛИНИЙ

При вычерчивании деталей машин и приборов, кон­туры очертаний которых состоят из прямых линий и дуг окружностей с плавными переходами от одной линии в другую, часто применяют сопряжения. Сопря­жением называется плавный переход одной линии в другую. На рис. 60 показаны примеры применения сопряжений.

Контур рычага (рис. 60а) состоит из отдельных линий, плавно переходящих одна в другую, например, в точках А , А 1 виден плавный переход от дуги окруж­ности к прямой линии, а в точках В, В 1 - от дуги одной окружности к дуге другой окружности (рис. 60, б). На рис. 60, в изображен двурогий крюк. На чертеже кон­тура крюка (рис. 60, г) в точке А виден плавный пере­ход от дуги окружности D=200 к прямой линии, а в точке В - от дуги окружности радиуса R460 к дуге ра­диуса R260.

Для точного и правильного выполнения чертежей необходимо уметь выполнять построения сопряжений, которые основаны на двух положениях.

1. Для сопряжения прямой линии и дуги необходимо, чтобы центр окружности, которой принадлежит дуга, лежал на перпендикуляре к прямой, восставленном из точки сопряжения (рис. 61, а).
2. Для сопряжения двух дуг необходимо, чтобы центры окружностей, которым принадлежат дуги, ле­жали на прямой, проходящей через точку сопряжения (рис. 61, 6).

СОПРЯЖЕНИЕ ДВУХ СТОРОН УГЛА ДУГОЙ ОКРУЖНОСТИ ЗАДАННОГО РАДИУСА

При выполнении чертежей деталей, показанных на рис. 62, б, г, е, выполняют построение сопряжения двух сторон угла дугой окружности заданного радиуса. На рис. 62, а выполнено построение сопряжения сто­рон острого угла дугой, на рис. 62, в - тупого угла, на рис. 62, д - прямого.

Сопряжение двух сторон угла (острого или тупого) дугой заданного радиуса R выполняют следующим образом (рис. 62, а и в).

Параллельно сторонам угла на расстоянии, равном радиусу дуги R, проводят две вспомогательные прямые линии. Точка пересечения этих прямых (точка О) будет центром дуги радиуса Я, т. е. центром сопряже­ния. Из центра О описывают дугу, плавно переходя­щую в прямые - стороны угла. Дугу заканчивают в точках сопряжения n и n 1 которые являются Основаниями перпендикуляров, опущенных из центра О на сто­роны угла.

При построении сопряжения сторон прямого угла центр дуги сопряжения проще находить с помощью циркуля (рис. 62, д). Из вершины угла А проводят дугу радиусом R, равным радиусу сопряжения. На сторонах угла получают точки сопряжения n и n 1 . Из этих точек, как из центров, проводят дуги радиусом R до взаим­ного пересечения в точке О, являющейся центром со­пряжения. Из центра О описывают дугу сопряжения.

СОПРЯЖЕНИЕ ПРЯМОЙ С ДУГОЙ ОКРУЖНОСТИ

Сопряжение прямой с дугой окружности может быть выполнено при помощи дуги с внутренним касанием (рис. 63, в) и дуги с внешним касанием (рис. 63, а).

На рис. 63, а показано сопряжение дуги окружности радиусом R и прямой линии А В дугой окружности радиуса r с внешним касанием. Для построения такого сопряжения проводят окружность радиуса R и прямую АВ. Параллельно заданной прямой на расстоянии, рав­ном радиусу r (радиус сопрягающей дуги), проводят прямую ab . Из центра О проводят дугу окружности

радиусом, равным сумме радиусов и r, до пересече­ния ее с прямой ab в точке О 1 Точка О 1 является цент­ром дуги сопряжения.

Точку сопряжения с 00 1 с дугой окружности радиуса R . Точка сопряжения C 1 является основанием перпендикуляра, опущенного из центра О 1 на данную прямую При помощи ана­логичных построений могут быть найдены точки 0 2 ,

c 2 , c 3.

На рис. 63, б показан кронштейн, при вычерчивании контура которого необходимо выполнить построения, описанные выше.

На рис. 63, в выполнено сопряжение дуги радиуса R с прямой А В дугой радиуса r с внутренним касанием. Центр дуги сопряжения О 1 находится на пересечении вспомогательной прямой, проведенной параллельно данной прямой на расстоянии r, с дугой вспомогатель­ной окружности, описанной из центра О радиусом, рав­ным разности R - r . Точка сопряжения является основанием перпендикуляра, опущенного из точки О 1 на данную прямую. Точку сопряжения с находят на пересечении прямой ОО 1 с сопрягаемой дугой. Такое сопряжение выполняют, например, при вычерчивании контура маховика, показанного на рис. 63, г.

СОПРЯЖЕНИЕ ДУГИ С ДУГОЙ

Сопряжение двух дуг окружностей может быть вну­тренним, внешним и смешанным.

При внутреннем сопряжении центры O и O 1 сопря­гаемых дуг находятся внутри сопрягающей дуги ради­уса R (рис. 64, б).

При внешнем сопряжении центры и сопрягае­мых дуг радиусов R 1 и R 2 находятся вне сопрягающей дуги радиуса R (рис. 64, в).

При смешанном сопряжении центр О, одной из сопрягаемых дуг лежит внутри сопрягающей дуги

радиуса R , а центр О другой сопрягаемой дуги вне ее (рис. 65, а).

На рис. 64, а показана деталь (серьга), при вычерчи­вании которой необходимо построение внутреннего и внешнего сопряжения.

Построение внутреннего сопряжения.

а) радиусы сопрягаемых окружностей R 1 и R 2

в) радиус R сопрягающей дуги.

Требуется:

0 2 сопрягающей дуги;

б) найти точки сопряжения s 1 и s

в) провести дугу сопряжения.

Построение сопряжения показано на рис. 64, б. По заданным расстояниям между центрами 1 1 и l 2 на чер­теже намечают центры О и O 1 из которых описывают сопрягаемые дуги радиусов R 1 и R 2 . Из центра О 1 про­водят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным разности радиусов сопрягающей дуги R и сопрягаемой R 2 , а из центра О - радиусом, равным разности радиусов сопрягающей дуги R и сопрягаемой R 1 0 2 которая и будет искомым центром сопрягающей дуги.

Для нахождения точек сопряжения точку 0 2 соеди­няют с точками О и О 1 прямыми линиями. Точки пере­сечения продолжения прямых 0 2 0 и 0 2 0 с сопрягае­мыми дугами являются искомыми точками сопряжения (точки S и s 1).

Радиусом R из центра О г проводят сопрягающую дугу между точками сопряжения s и s 1

Построение внешнего сопряжения.

а) радиусы R 1 и R 2 сопрягаемых дуг окружностей;

б) расстояния и l 2 между центрами этих дуг;

в) радиус R сопрягающей дуги.

Требуется:

а) определить положение центра 0 2 сопрягающей дуги;

б) найти точки сопряжения и s 1 ;

в) провести дугу сопряжения.

Построение внешнего сопряжения показано на рис. 64, в. По заданным расстояниям между центрами l 1 и l 2 на чертеже находят точки О и О 1 из которых описывают сопрягаемые дуги радиусов R 1 и R 2 . Из центра О проводят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным сумме радиусов сопрягаемой дуги R 1 , и сопряга­ющей R , а из центра О 1 - радиусом, равным сумме

радиусов сопрягаемой дуги R 2 и сопрягающей R . Вспо­могательные дуги пересекутся в точке O 2 , которая будет искомым центром сопрягающей дуги Для нахождения точек сопряжения центры дуг сое-

диняют прямыми линиями 00 2 и 010 2 . Эти две пря­мые пересекают сопрягаемые дуги в точках сопряже­ния S и s1

Из центра 0 2 радиусом R проводят сопрягающую ду­гу, ограничивая ее точками сопряжения и

Построение смешанного сопряжения. Пример сме­шанного сопряжения приведен на рис. 65, и где изображены кронштейн и его чертеж.

а) радиусы R x и R 2 сопрягаемых дуг окружностей;

б) расстояния l 1 и l 2 между центрами этих дуг;

в) радиус R сопрягающей дуги.

Требуется:

а) определить положение центра 0 2 сопрягающей дуги;

б) найти точки сопряжения s и s 1

в) провести дугу сопряжения.

По заданным расстояниям между центрами l 1 и l 2 на чертеже намечают центры 0 и 0 1 , из которых описы­вают сопрягаемые дуги радиусов R 1 и R 2 . Из центра О проводят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным сумме радиусов сопрягаемой дуги R 1 и сопрягающей R , а из центра 0 1 - радиусом, равным разности радиусов R и R 2 . Вспомогательные дуги пересекутся в точке 0 2 , которая будет искомым центром сопряга­ющей дуги.

Соединив точки О и 0 2 прямой, получают точку сопряжения соединив точки О 1 и 0 2 , находят точку сопряжения s . Из центра 0 2 проводят дугу сопряжения от s до s 1

При вычерчивании контура детали необходимо разо­браться, где имеются плавные переходы, и предста­вить себе, где надо выполнить те или иные виды сопря­жения.

Для приобретения навыков построения сопряжения выполняют упражнения по вычерчиванию контуров сложных деталей. Перед упражнением необходимо просмотреть задание, наметить порядок построения сопряжений и только после этого приступить к выпол­нению построений.

На рис. 66, а изображена деталь (кронштейн), а на рис. 66, б, в, г показана последовательность выполне­ния контурного очертания этой детали с построением различных видов сопряжений.